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CIE 9709 2022 March Paper 32 Q10

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2022 March Paper 32 Paper · Question 10

题目

Problem

The points AA and BB have position vectors 2i+j+k2\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} and i−2j+2k\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k} respectively. The line ll has vector equation

r=i+2j−3k+μ(i−3j−2k).\mathbf{r}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}-3\mathbf{k}+\mu(\mathbf{i}-3\mathbf{j}-2\mathbf{k}).

(a) Find a vector equation for the line through AA and BB.

(3)

(b) Find the acute angle between the directions of ABAB and ll, giving your answer in degrees.

(3)

(c) Show that the line through AA and BB does not intersect the line ll.

(4)
题目中文翻译

点 AA 和 BB 的位置向量分别为 2i+j+k2\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} 和 i−2j+2k\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}。直线 ll 的向量方程为

r=i+2j−3k+μ(i−3j−2k).\mathbf{r}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}-3\mathbf{k}+\mu(\mathbf{i}-3\mathbf{j}-2\mathbf{k}).

(a) 求过 AA 和 BB 的直线的向量方程。

(3)

(b) 求 ABAB 与 ll 的方向之间的锐角，答案用度数表示。

(3)

(c) 证明过 AA 和 BB 的直线与直线 ll 不相交。

(4)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用两点位置向量相减得到方向向量，再用其中一点写方程。

答题过程

展开

The direction vector is

AB→=(1,−2,2)−(2,1,1)=(−1,−3,1).\overrightarrow{AB}=(1,-2,2)-(2,1,1)=(-1,-3,1).

Hence

r=(211)+λ(−1−31).\boxed{\mathbf r= \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}-1\\-3\\1\end{pmatrix}}.

(b)

解法一

思路

展开

用两条直线方向向量的点积与模长计算锐角。

答题过程

展开

Direction vectors are d=(−1,−3,1)\mathbf d=(-1,-3,1) and e=(1,−3,−2)\mathbf e=(1,-3,-2). Their scalar product is

d⋅e=−1+9−2=6.\mathbf d\cdot\mathbf e=-1+9-2=6.

Also ∣d∣=11|\mathbf d|=\sqrt{11} and ∣e∣=14|\mathbf e|=\sqrt{14}. Therefore

θ=cos⁡−161114≈61.1∘.\theta=\cos^{-1}\frac6{\sqrt{11}\sqrt{14}}\approx\boxed{61.1^\circ}.

(c)

解法一

思路

展开

如果两线相交，同一组参数必须使三个分量都相等。用前两式求参数，再检查第三式。

答题过程

展开

At an intersection,

2−λ= 1+μ,1−3λ= 2−3μ,1+λ= −3−2μ.\begin{align*} 2-\lambda=&\,1+\mu,\\[4mm] 1-3\lambda=&\,2-3\mu,\\[4mm] 1+\lambda=&\,-3-2\mu. \end{align*}

The first two equations give

λ+μ= 1,−3λ+3μ= 1.\begin{align*} \lambda+\mu=&\,1,\\[4mm] -3\lambda+3\mu=&\,1. \end{align*}

Thus μ−λ=1/3\mu-\lambda=1/3, giving μ=2/3\mu=2/3, λ=1/3\lambda=1/3.

The third components are then

1+λ= 43,−3−2μ= −133,\begin{align*} 1+\lambda=&\,\frac43,\\[4mm] -3-2\mu=&\,-\frac{13}{3}, \end{align*}

which are unequal. Hence no pair of parameters satisfies all three equations, and AB and l do not intersect\boxed{AB\text{ and }l\text{ do not intersect}}.