图中所示为曲线 $y=\sin x\cos2x$ 在 $0\leq x\leq\frac12\pi$ 内的图像及其极大值点 $M$。

(a) 求 $M$ 的 $x$ 坐标，答案保留 3 位有效数字。

(b) 利用代换 $u=\cos x$，求第一象限内由曲线与 $x$ 轴围成的阴影区域的面积，答案以化简后的精确形式表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用乘积法则求导，再用二倍角公式提取 $\cos x$，在第一象限内解驻点条件。

Differentiating,

Using double-angle formulae,

At the interior maximum, $\cos x>0$, so $\sin^2x=1/6$. Thus

to 3 significant figures. The derivative changes from positive to negative there, confirming the maximum.

先用二倍角公式将函数写成 $\sin x$ 的三次多项式，再求导得到相同驻点条件。

Using $\cos2x=1-2\sin^2x$,

Therefore

At the interior maximum, $0<x<\pi/2$ and $\cos x>0$, giving $\sin x=1/\sqrt6$. The derivative changes from positive to negative at this point. Hence

to 3 significant figures.

第一象限阴影的右端点为 $x=\pi/4$。按指定的 $u=\cos x$ 代换，同时变换微分与端点。

The curve is non-negative for $0\le x\le\pi/4$ and meets the $x$-axis at $x=\pi/4$. Hence

Put $u=\cos x$, so $\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x$ and $\cos2x=2u^2-1$.

The limits become $u=1$ and $u=1/\sqrt2$. Thus