题目

Problem

The variables $x$ and $y$ satisfy the equation $x^ny^2=C$ , where $n$ and $C$ are constants. The graph of $\ln y$ against $\ln x$ is a straight line passing through the points $(0.31,1.21)$ and $(1.06,0.91)$ , as shown in the diagram.

Find the value of $n$ and find the value of $C$ correct to 2 decimal places.

(5)

题目中文翻译

变量 $x$ 和 $y$ 满足方程 $x^ny^2=C$ ，其中 $n$ 和 $C$ 为常数。如图，以 $\ln x$ 为横坐标、 $\ln y$ 为纵坐标的图像是一条经过点 $(0.31,1.21)$ 和 $(1.06,0.91)$ 的直线。

求 $n$ 的值，并求 $C$ 的值，精确到小数点后 2 位。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

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取对数后，图像斜率为 $-n/2$ ，截距为 $\tfrac12\ln C$ 。先由两点求斜率，再用任一点求常数。

答题过程

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Taking logarithms of $x^ny^2=C$ gives

n\ln x+2\ln y=\ln C,

\ln y=-\frac n2\ln x+\frac12\ln C.

The gradient of the plotted line is

\frac{0.91-1.21}{1.06-0.31}=-\frac{0.30}{0.75}=-0.4.

Thus $-n/2=-0.4$ , giving $\boxed{n=0.8}$ .

Using $(\ln x,\ln y)=(0.31,1.21)$ ,

\ln C=0.8(0.31)+2(1.21)=2.668.

Hence

C=e^{2.668}\approx\boxed{14.41}

to 2 decimal places.

解法二

思路

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也可以先把图上的对数坐标还原为 $x,y$ ，将两组原方程相除消去 $C$ 。

答题过程

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The two plotted points imply

\begin{align*} x_1=&\,e^{0.31},\quad y_1=e^{1.21},\\[4mm] x_2=&\,e^{1.06},\quad y_2=e^{0.91}. \end{align*}

Using $x^ny^2=C$ for both pairs and dividing,

\bigg(\frac{x_2}{x_1}\bigg)^n \bigg(\frac{y_2}{y_1}\bigg)^2=1.

Thus

e^{0.75n}e^{-0.60}=1, \qquad0.75n-0.60=0.

Hence $\boxed{n=0.8}$ , and substitution gives

C=(e^{0.31})^{0.8}(e^{1.21})^2 =e^{2.668}.

Therefore $\boxed{C\approx14.41}$ to 2 decimal places.

CIE 9709 2022 March Paper 32 Q3

题目

解答

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程