求满足方程 $w^2+2\mathrm{i}w^*=1$ 且满足 $\operatorname{Re}w\leq0$ 的复数 $w$。答案以 $x+\mathrm{i}y$ 的形式表示，其中 $x$ 和 $y$ 为实数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

设 $w=x+y\mathrm{i}$，代入时共轭为 $x-y\mathrm{i}$。比较实部、虚部后，虚部可分解成两个分支，最后用实部限制筛选。

Let $w=x+y\mathrm{i}$, with $x,y$ real. Then $w^*=x-y\mathrm{i}$, so

Equating parts gives

If $x=0$, the real equation gives

so $y=1$ and $w=\mathrm{i}$.

If $y=-1$, the real equation gives $x^2-3=1$, so $x=\pm2$. The requirement $\operatorname{Re}w\le0$ selects $x=-2$.

Therefore