变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

且已知当 $x=1$ 时，$y=1$。

解此微分方程，并求 $x=3$ 时 $y$ 的精确值，答案以化简后的形式表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分离变量后对两个一次因子的倒数做部分分式。使用初值选正分支，最后代入 $x=3$。

On the branch containing $(1,1)$, separate variables:

Write

Then $1=A(3x+1)+B(x+1)$. Comparing coefficients,

so $A=-1/2$, $B=3/2$. For the second term, the factor $3$ in the denominator gives

Integrating on the interval $x>-1/3$ through the initial point,

Using $x=1$, $y=1$,

Therefore

so the initial-value solution is

At $x=3$,