设 $\mathrm{f}(x)=\dfrac{5x^2+x+11}{(4+x^2)(1+x)}$。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为部分分式。

(b) 由此证明 $\displaystyle\int_0^2\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x=\ln54-\frac18\pi$。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

二次因子的分子须设一次式。清分母后先代入 $x=-1$，再用常数项及二次项求其余系数。

Write

Then

At $x=-1$, $15=5C$, so $C=3$.

Comparing constant terms, $11=B+4C$, so $B=-1$. Comparing coefficients of $x^2$, $5=A+C$, so $A=2$.

Thus

承接(a)，把二次因子上的分式再按分子拆开，分别得到对数和反正切。代入上下限后用对数法则合成 $\ln54$。

Using part (a),

Since $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan^{-1}(x/2)=2/(4+x^2)$, the integral of $-1/(4+x^2)$ is $-\tfrac12\tan^{-1}(x/2)$. The logarithm arguments below are positive on $[0,2]$. Therefore