图中显示了一个圆心为 $O$、半径为 $r$ 的圆。圆的小扇形 $AOB$ 的圆心角为 $x$ 弧度。圆的大扇形的面积是阴影区域面积的 $3$ 倍。

(a) 证明 $x=\frac34\sin x+\frac12\pi$。

(b) 通过计算证明 (a) 问方程的根位于 $2$ 与 $2.5$ 之间。

(c) 使用基于 (a) 问方程的迭代公式求此根，结果保留 $2$ 位小数。每次迭代的结果保留 $4$ 位小数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

阴影是小扇形减去三角形，不能把阴影当作整个小扇形。写出大扇形与阴影的面积，利用三倍关系消去 $r^2$。

The major sector has angle $2\pi-x$, so its area is

The shaded segment is the minor sector minus triangle $AOB$, with area

Using the given relationship,

Cancelling $r^2/2>0$,

Hence

把(a)移项成连续函数为零，在两个端点计算函数值并比较符号。

Let $f(x)=x-\tfrac34\sin x-\tfrac\pi2$. In radians,

Since $f$ is continuous, it has a zero between $2$ and $2.5$. Also $f'(x)=1-\tfrac34\cos x\ge1/4>0$, so the root is unique.

使用(a)的右侧作为迭代函数。计算时保留精度，显示四位小数，直到结果稳定到两位小数。

Use

with angles in radians.

Therefore $\boxed{x=2.18}$ to 2 decimal places.