图中显示了曲线 $y=x^3\ln x$（$x>0$）及其最小值点 $M$。

(a) 求 $M$ 的精确坐标。

(b) 求曲线、$x$ 轴及直线 $x=\frac12$ 所围成的阴影区域的精确面积。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用乘积法则求导，注意 $x>0$，所以 $x^2$ 不能为零。解出对数条件后代回求纵坐标。

Differentiating,

Since $x>0$, the stationary point satisfies

The derivative changes from negative to positive at this value, so it is a minimum. Substituting,

Thus

曲线在 $1/2\le x\le1$ 位于横轴下方，面积是负积分。用分部积分处理 $x^3\ln x$，再取相反数。

The curve meets the $x$-axis at $x=1$. On $1/2\le x\le1$, $x^3\ln x\le0$, so

Integrating by parts with $u=\ln x$, $\mathrm{d}v=x^3\,\mathrm{d}x$,

Thus