变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

已知当 $x=0$ 时，$y=0$。

解此微分方程，并求 $x=\frac12$ 时 $y$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分离变量后，把 $\sin^22x$ 用二倍角公式化成 $[1-\cos4x]/2$，再积分并使用初值。最后先写显式解，再代入 $x=1/2$。

Separating variables,

The derivatives of $e^{-3y}$ and $\sin4x$ contribute factors $-3$ and $4$ respectively. Integrating,

Using $x=0$, $y=0$ gives $C=-1/3$. Therefore

so

on the branch containing the initial point, where the logarithm argument is positive.

When $x=1/2$,

Hence $\boxed{y=0.175}$ to 3 significant figures.