设 $\mathrm{f}(x)=\dfrac{36a^2}{(2a+x)(2a-x)(5a-2x)}$，其中 $a$ 为正常数。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为部分分式。

(b) 由此求 $\displaystyle\int_{-a}^a\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x$ 的精确值，将答案表示为 $p\ln q+r\ln s$ 的形式，其中 $p$ 和 $r$ 为整数，$q$ 和 $s$ 为质数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分母有三个不同的一次因子，设三个常数分式。清分母后分别代入使一个因子为零的值，利用 $a>0$ 求系数。

Write

Clearing denominators,

At $x=-2a$,

At $x=2a$,

At $x=5a/2$,

Therefore

利用(a)逐项积分，注意分母导数的负号及系数。由于 $a>0$，在积分区间三个对数的真数都为正；代入端点后参数 $a$ 应相消。

For $-a\le x\le a$ and $a>0$, all three linear factors are positive. Since the derivatives of $2a-x$ and $5a-2x$ are $-1$ and $-2$, the last two integral coefficients are $-9$ and $(-16)/(-2)=8$. Thus