题目

Problem

(a) Find the coefficient of $x^2$ in the expansion of $(2x-5)\sqrt{4-x}$ .

(4)

(b) State the set of values of $x$ for which the expansion in part (a) is valid.

(1)

题目中文翻译

(a) 求 $(2x-5)\sqrt{4-x}$ 的展开式中 $x^2$ 的系数。

(4)

(b) 写出使 (a) 问中的展开式成立的 $x$ 的取值范围。

(1)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把根式写成 $2(1-x/4)^{1/2}$ 。为求乘积中的二次项，只需根式的一次项与二次项。

答题过程

展开

Using the binomial expansion,

\begin{align*} \sqrt{4-x} =&\,2\bigg(1-\frac{x}{4}\bigg)^{1/2}\\[4mm] =&\,2\bigg[1+\frac12\bigg(-\frac{x}{4}\bigg)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac{(1/2)(-1/2)}{2}\bigg(-\frac{x}{4}\bigg)^2 +\cdots\bigg]\\[4mm] =&\,2-\frac{x}{4}-\frac{x^2}{64}+\cdots. \end{align*}

The $x^2$ terms in $(2x-5)\sqrt{4-x}$ are

\begin{align*} &\,2x\bigg(-\frac{x}{4}\bigg)-5\bigg(-\frac{x^2}{64}\bigg)\\[4mm] =&\,\bigg(-\frac12+\frac5{64}\bigg)x^2. \end{align*}

Therefore the coefficient is $\boxed{-27/64}$ .

(b)

解法一

思路

展开

非整数幂的二项展开要求括号内所加的量的绝对值小于 $1$ 。

答题过程

展开

The binomial expansion requires

\bigg|-\frac{x}{4}\bigg|<1.

Hence the required set is $\boxed{-4<x<4}$ .

CIE 9709 2024 March Paper 32 Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程