题目

Problem

The positive numbers $p$ and $q$ are such that

\ln\bigg(\frac pq\bigg)=a\quad\text{and}\quad\ln(q^2p)=b.

Express $\ln(p^7q)$ in terms of $a$ and $b$ .

(4)

题目中文翻译

正数 $p$ 和 $q$ 满足

\ln\bigg(\frac pq\bigg)=a\quad\text{且}\quad\ln(q^2p)=b.

用 $a$ 和 $b$ 表示 $\ln(p^7q)$ 。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

设 $P=\ln p$ 、 $Q=\ln q$ ，把题设化成二元一次方程，再计算 $7P+Q$ 。

答题过程

展开

Since $p,q>0$ , the logarithm laws give

\begin{align*} \ln p-\ln q=&\,a,\\[4mm] \ln p+2\ln q=&\,b. \end{align*}

Subtracting,

\begin{align*} 3\ln q=&\,b-a,\\[4mm] \ln q=&\,\frac{b-a}{3}. \end{align*}

Then

\ln p=a+\ln q=\frac{2a+b}{3}.

Consequently,

\begin{align*} \ln(p^7q) =&\,7\ln p+\ln q\\[4mm] =&\,7\bigg(\frac{2a+b}{3}\bigg)+\frac{b-a}{3}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{13a+8b}{3}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

不必先分别求 $\ln p$ 、 $\ln q$ ；也可把目标乘积写成题设两个乘积的幂，比较指数。

答题过程

展开

Seek constants $u,v$ such that

p^7q=\bigg(\frac pq\bigg)^u(q^2p)^v.

Comparing the powers of $p$ and $q$ ,

\begin{align*} u+v=&\,7,\\[4mm] -u+2v=&\,1. \end{align*}

Thus $3v=8$ , so $v=8/3$ and $u=13/3$ . Taking logarithms,

\begin{align*} \ln(p^7q) =&\,\frac{13}{3}\ln\bigg(\frac pq\bigg) +\frac83\ln(q^2p)\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{13a+8b}{3}}. \end{align*}

CIE 9709 2024 March Paper 32 Q4

题目

解答

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程