一条曲线的方程为 $2y^2+3xy+x=x^2$。

(a) 证明 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{2x-3y-1}{4y+3x}$。

(b) 由此证明该曲线没有平行于 $x$ 轴的切线。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对 $y^2$ 使用链式法则，对 $xy$ 使用乘积法则，再收集所有含 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ 的项。

Differentiating $2y^2+3xy+x=x^2$ implicitly,

Therefore

so

水平切线要求斜率为零，因此先令分子为零，再代回曲线。若得到的二次方程无实根，就不存在这样的实点。

A horizontal tangent would require

Substituting into the curve,

Multiplying by $9$ and simplifying,

Its discriminant is

There is no real point satisfying the necessary condition. Hence $\boxed{\text{the curve has no tangent parallel to the }x\text{-axis}}$.