设 $\mathrm{f}(x)=\dfrac{-7x^2+2x-6}{(1+x)(4+x^2)}$。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为部分分式。

(b) 由此求 $\displaystyle\int_0^2\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x$ 的精确值。答案以 $a\pi-\ln b$ 的形式表示，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

不可约二次因式对应一次分子。代根先求一个系数，再比较其余系数。

Write

Multiplying through,

Putting $x=-1$ gives $-15=5A$, so $A=-3$.

Comparing the coefficients of $x^2$ gives $A+B=-7$, so $B=-4$. The constant coefficient gives $4A+C=-6$, so $C=6$.

The linear coefficient also checks: $B+C=2$. Hence

承接(a)，把二次分母上的一次分子再拆开，分别得到对数与反正切。代入上下限后合并所有对数。

From (a), the term $-4x/(4+x^2)$ integrates to $-2\ln(4+x^2)$ because the denominator has derivative $2x$. Also, $\int6/(4+x^2)\,\mathrm{d}x=3\tan^{-1}(x/2)+C$. Thus

on $[0,2]$. Therefore