变量 $x$ 和 $\theta$ 满足微分方程

且当 $\theta=0$ 时，$x=5$。

解此微分方程，并求出用 $\theta$ 表示 $x$ 的表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分离变量后，关于 $x$ 的积分产生对数，关于角的积分先降幂。初值确定常数后指数化。

Separating variables,

Using $\sin^22\theta=(1-\cos4\theta)/2$,

where the factor $1/8$ is $(1/2)(1/4)$. Integrating both sides of the separated equation gives

The initial condition $x=5$, $\theta=0$ gives $C=5\ln10$. On the initial branch $x+5>0$, so

Exponentiating,

The resulting expression has $x+5>0$, consistent with the branch used.