图中显示了曲线 $y=x^3\cos2x$，其中 $0\le x\le\frac14\pi$。曲线在 $M$ 点取得极大值，该点的 $x=p$。

(a) 证明 $p$ 满足方程 $p=\frac12\tan^{-1}\left(\frac3{2p}\right)$。

(b) 通过计算证明 $0.5<p<0.7$。

(c) 使用基于 (a) 问中方程的迭代公式，计算 $p$，结果保留 $3$ 位小数。每次迭代的结果保留 $5$ 位小数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

乘积求导后约去内部极值处非零的 $p^2$，再用正确的反正切主值范围重排。

Differentiating,

At the maximum $x=p$, $0<p<\pi/4$, so $p^2>0$ and $\cos2p>0$. Hence

Since $0<2p<\pi/2$, taking the principal inverse tangent gives

对重排方程的两边之差计算端点值，利用连续性判断根的范围。

Let

Using radians,

The function is continuous on $[0.5,0.7]$, so the root lies in $\boxed{0.5<p<0.7}$.

The left side $p$ increases while the inverse-tangent expression decreases for $p>0$, so the root is unique.

用区间内的初值迭代，内部保留完整精度，表格给五位小数。

Starting with $p_0=0.6$, use

in radians. The iterations are

Thus $\boxed{p=0.596}$ to 3 decimal places.