变量 $x$ 和 $y$ 满足方程 $y^2=k\frac{x-2}{x+2}$，其中 $k$ 为常数。

(a) 证明 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2y}{x^2-4}$。

(b) 已知 $k=5$，求曲线上 $x=3$ 对应的点处的两条切线之间的夹角。

答案写成 $a\tan^{-1}\big(\frac bc\big)$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 为整数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

隐式求导时保留 $2y$，再用原方程把常数 $k$ 消去。这样不会丢掉负的 $y$ 分支。

Differentiating implicitly,

From the original equation,

Substituting and simplifying, at points where the derivative is defined,

同一个 $x$ 对应正负两个 $y$，故有两条切线。先求斜率，再用两直线夹角公式。

For $k=5$ and $x=3$,

so $y=\pm1$. By (a), the tangent gradients are

If $\theta$ is the acute angle between them,

Therefore

两个斜率互为相反数，切线关于水平方向对称。各自与水平线的锐角相等，所求夹角是其两倍。

When $x=3$ and $k=5$, $y=\pm1$, so the tangent gradients are $\pm2/5$.

Each tangent makes an acute angle $\alpha=\tan^{-1}(2/5)$ with the horizontal. Since $\alpha<\pi/4$, the acute angle between the tangents is $2\alpha$.

Thus