已知 $z=\frac{3+\lambda\mathrm{i}}{\lambda+2\mathrm{i}}$，其中 $\lambda$ 为实常数。

(a) 求使 $\arg z=\frac14\pi$ 成立的 $\lambda$ 的值。

(b) 当 $\lambda$ 取 5(a) 中求得的值时，求 $|z|$ 的精确值，并清楚展示所用方法。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先乘分母的共轭，比较实部和虚部。辐角为 $\pi/4$ 还要求两者都为正，不能只比较它们相等。

Rationalising the denominator,

For $\arg z=\pi/4$, the real and imaginary parts must be equal and positive. Thus

The root $\lambda=-1$ gives a negative real part, so it lies in the wrong quadrant. The required value is $\boxed{\lambda=6}$.

把辐角条件直接写成 $z=c(1+\mathrm{i})$，其中 $c>0$。交叉相乘后比较实部和虚部。

Since $\arg z=\pi/4$, write $z=c(1+\mathrm{i})$ with $c>0$. Then

Comparing parts,

The first equation implies $\lambda>2$. Eliminating $c$ gives

Only $\boxed{\lambda=6}$ satisfies $\lambda>2$.

先代入(a)的值，求出实部和虚部，再用模长公式。

When $\lambda=6$,

Therefore

商的模等于分子的模除以分母的模。直接代入 (a) 的值，无须先把复数写成直角坐标形式。

Using $\lambda=6$ from (a), the quotient rule for moduli gives