题目

Problem

The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation

y\mathrm{e}^{3x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x(y+5).

It is given that $y=0$ when $x=0$ .

Solve the differential equation to obtain an equation in $x$ and $y$ .

(8)

题目中文翻译

变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

y\mathrm{e}^{3x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x(y+5).

已知当 $x=0$ 时， $y=0$ 。

解这个微分方程，得到一个关于 $x$ 和 $y$ 的方程。

(8)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

分离变量后，把关于 $y$ 的分式拆成常数与简单分式；关于 $x$ 的积分用分部积分。最后代入初值并合并对数。

答题过程

展开

Separating variables,

\frac{y}{y+5}\,\mathrm{d}y=xe^{-3x}\,\mathrm{d}x.

For the left-hand side,

\begin{align*} \int\frac{y}{y+5}\,\mathrm{d}y =&\,\int\bigg(1-\frac5{y+5}\bigg)\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,y-5\ln|y+5|+C_1. \end{align*}

For the right-hand side, integration by parts with $u=x$ and $\mathrm{d}v=e^{-3x}\,\mathrm{d}x$ gives

\begin{align*} \int xe^{-3x}\,\mathrm{d}x =&\,-\frac13xe^{-3x} +\frac13\int e^{-3x}\,\mathrm{d}x\\ =&\,-\frac13xe^{-3x}-\frac19e^{-3x}+C. \end{align*}

Thus

y-5\ln|y+5|=-\frac{3x+1}{9}e^{-3x}+C.

Substituting $x=0$ , $y=0$ ,

-5\ln5=-\frac19+C \quad\Longrightarrow\quad C=\frac19-5\ln5.

On the branch through the initial point, $y+5>0$ . Combining the logarithms gives the required relation

\boxed{ y-5\ln\bigg(\frac{y+5}{5}\bigg) =\frac{1-(3x+1)e^{-3x}}9 }.

CIE 9709 2026 March Paper 32 Q8

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