曲线 $y=x\sqrt{\sin x}$ 在区间 $0<x<\pi$ 内有一个驻点，该处 $x=a$（见图）。

(a) 证明 $\tan a=-\frac12a$。

(b) 通过计算验证 $a$ 位于 $2$ 与 $2.5$ 之间。

(c) 证明：若由迭代公式

给出的、位于区间 $0<x<\pi$ 内的数列收敛，则它收敛于 (a) 小问中方程的根 $a$。

(d) 利用 (c) 小问给出的迭代公式求 $a$，精确到小数点后 2 位。写出每次迭代的结果，精确到小数点后 4 位。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用乘积法则求导。区间内 $x>0$ 且 $\sin x>0$，可将驻点方程乘以正的根式并约去非零因子。

For $y=x\sqrt{\sin x}$,

At $x=a$ the derivative is zero, so

The value $a=\pi/2$ does not satisfy this equation, so $\cos a\ne0$. Dividing by $2\cos a$ gives

在区间 $[2,2.5]$ 内正切连续，计算移项后函数的两端符号。

Let $f(x)=\tan x+x/2$. Then

The function is continuous on $[2,2.5]$, so it has a root there. This is the given stationary-point root $a$, hence $\boxed{2<a<2.5}$.

对迭代式取极限，再用 $\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta$。极限式本身会把极限限制在第二象限。

Suppose $x_n\to L$. By continuity,

Since the terms lie in $(0,\pi)$, $L\in[0,\pi]$. The fixed-point equation then implies $0<L<\pi$ and, in fact, $\pi/2<L<\pi$.

Thus

Therefore $L$ satisfies the equation in part (a). It cannot lie in $(0,\pi/2)$ because the tangent there is positive; on $(\pi/2,\pi)$, the function $\tan x+x/2$ is strictly increasing and has one zero. Hence $\boxed{L=a}$.

使用(c)的迭代式，从区间内取初值，内部保留精度，列出四位小数直到数值稳定。

Starting with $x_0=2.25$, use

in radians.

Therefore $\boxed{a=2.29}$ to 2 decimal places.