变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

且当 $x=0$ 时，$y=2$。

解此微分方程，求出用 $x$ 表示 $y$ 的化简表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分离变量后，两侧均是对数积分。初值为正，取通过该初值的正分支，最后指数化并化简根式。

On the branch through $y=2$, separate variables:

The derivative of $1+x^2$ is $2x$, so integrating gives

Using $x=0$, $y=2$ gives $C=\ln2$. Hence

Exponentiating,

Therefore $\boxed{y=2\sqrt{1+x^2}}$.