多项式 $ax^3-10x^2+bx+8$ 记为 $\mathrm{p}(x)$，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $(x-2)$ 是 $\mathrm{p}(x)$ 和 $\mathrm{p}'(x)$ 的公因式。

(a) 求 $a$ 和 $b$ 的值。

(b) 当 $a$ 和 $b$ 取上述值时，将 $\mathrm{p}(x)$ 完全因式分解。

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共同因式给出 $p(2)=0$ 与 $p'(2)=0$。先对多项式求导，再代入这两个条件解联立方程。

By the factor theorem, $\mathrm p(2)=0$. Thus

Also

Since $x-2$ is a factor of $\mathrm p'(x)$,

Subtracting gives $8a=24$, so $a=3$. Then $b=16-12=4$.

Therefore $\boxed{a=3,\qquad b=4}$.

若一个根同时使多项式与其导数为零，它是重根。利用常数项可以直接写出剩余一次因子，再比较系数。

Since both $\mathrm p(2)$ and $\mathrm p'(2)$ are zero, $(x-2)^2$ divides $\mathrm p(x)$.

The leading coefficient is $a$ and the constant term is $8$, so

Expanding,

Comparing coefficients,

Hence $\boxed{a=3,\qquad b=4}$.

利用(a)得到的常数值，把三次式除以 $x-2$，再分解所得二次因子。

With $a=3$, $b=4$,

Division by $x-2$ gives

Now

Therefore