题目

Problem

Let

I=\int_0^3\frac{27}{(9+x^2)^2}\,\mathrm{d}x.

(a) Using the substitution $x=3\tan\theta$ , show that

I=\int_0^{\frac14\pi}\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta.

(4)

(b) Hence find the exact value of $I$ .

(4)

题目中文翻译

设

I=\int_0^3\frac{27}{(9+x^2)^2}\,\mathrm{d}x.

(a) 利用代换 $x=3\tan\theta$ ，证明

I=\int_0^{\frac14\pi}\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta.

(4)

(b) 由此求 $I$ 的精确值。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

代换时同时换微分与两个端点，并用 $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ 化简分母。

答题过程

展开

Put $x=3\tan\theta$ . Then

\begin{align*} \mathrm{d}x=&\,3\sec^2\theta\,\mathrm{d}\theta,\\[4mm] 9+x^2=&\,9\sec^2\theta. \end{align*}

When $x=0$ , $\theta=0$ ; when $x=3$ , $\tan\theta=1$ , so $\theta=\pi/4$ . Thus

\begin{align*} I =&\,\int_0^{\pi/4} \frac{27(3\sec^2\theta)}{81\sec^4\theta}\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\boxed{\int_0^{\pi/4}\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

承接(a)，用余弦平方的二倍角公式积分，再代入新变量上下限。

答题过程

展开

Using part (a) and $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$ ,

\begin{align*} I =&\,\frac12\int_0^{\pi/4}(1+\cos2\theta)\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\bigg[\frac\theta2+\frac14\sin2\theta\bigg]_0^{\pi/4}\\[4mm] =&\,\frac\pi8+\frac14. \end{align*}

Hence $\boxed{I=(\pi+2)/8}$ .

CIE 9709 2022 June Paper 31 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程