复数 $u$ 定义为 $u=\dfrac{\sqrt2-a\sqrt2\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}$，其中 $a$ 为正整数。

(a) 用 $a$ 将 $u$ 表示为 $x+\mathrm{i}y$ 的形式，其中 $x$ 和 $y$ 均为精确的实数。

现已知 $a=3$。

(b) 将 $u$ 表示为 $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ 的形式，其中 $r>0$ 且 $-\pi<\theta\leq\pi$，并给出 $r$ 和 $\theta$ 的精确值。

(c) 利用 (b) 小问的答案，求 $u$ 的两个平方根。答案以 $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ 的形式表示，其中 $r>0$ 且 $-\pi<\theta\leq\pi$，并给出 $r$ 和 $\theta$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

将分子、分母乘以共轭 $1-2\mathrm{i}$，分母变成 $5$，再整理实部和虚部。

Multiplying by the conjugate,

Therefore

也可设商为 $s+t\mathrm{i}$，清分母后比较实部与虚部，用二元一次方程求解。

Let $u=s+t\mathrm{i}$. Then

Hence

Twice the first equation subtracted from the second gives $5t=-(a+2)\sqrt2$, so

Then

Thus

代入 $a=3$ 后，两个分量均为负，主辐角在第三象限的负角表示中；不能只取反正切的第一象限值。

When $a=3$, part (a) gives

Therefore

Both components are negative with equal magnitudes, so the principal argument is $-3\pi/4$. Hence

平方根的模为原模的平方根，辐角间隔为 $\pi$。先列两条角，再化到主值范围。

Using part (b), a square root has modulus $\sqrt2$ and argument

Both resulting angles are in $(-\pi,\pi]$. Thus the two roots are