一条曲线的方程为 $x^3+y^3+2xy+8=0$。

(a) 用 $x$ 和 $y$ 表示 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

曲线在 $x=0$ 处的切线与在 $y=0$ 处的切线相交，所成的锐角为 $\alpha$。

(b) 求 $\tan\alpha$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对含 $y$ 的项用链式法则，对 $2xy$ 用乘积法则，最后收集导数项。

Differentiating implicitly,

Hence

Therefore

先分别求两个坐标轴交点及切线斜率。两条切线的倾角作差，使用正切差角公式得到锐角的正切。

At $x=0$, the curve gives $y^3+8=0$, so the point is $(0,-2)$. From part (a), its tangent gradient is

At $y=0$, $x^3+8=0$, so the point is $(-2,0)$. Its tangent gradient is

If their inclination angles are $\beta_1,\beta_2$, then $\tan\beta_1=1/3$ and $\tan\beta_2=3$. The acute angle is $\alpha=\beta_2-\beta_1$. Thus