题目

Problem

In the diagram, $OABCDEFG$ is a cuboid in which $OA=2$ units, $OC=4$ units and $OG=2$ units. Unit vectors $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ and $\mathbf{k}$ are parallel to $OA$ , $OC$ and $OG$ respectively. The point $M$ is the midpoint of $DF$ . The point $N$ on $AB$ is such that $AN=3NB$ .

(a) Express the vectors $\overrightarrow{OM}$ and $\overrightarrow{MN}$ in terms of $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ and $\mathbf{k}$ .

(3)

(b) Find a vector equation for the line through $M$ and $N$ .

(2)

(c) Show that the length of the perpendicular from $O$ to the line through $M$ and $N$ is $\sqrt{\dfrac{53}{6}}$ .

(4)

题目中文翻译

如图， $OABCDEFG$ 为长方体，其中 $OA=2$ 个单位， $OC=4$ 个单位， $OG=2$ 个单位。单位向量 $\mathbf{i}$ 、 $\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$ 分别平行于 $OA$ 、 $OC$ 和 $OG$ 。点 $M$ 是 $DF$ 的中点。点 $N$ 位于 $AB$ 上，且满足 $AN=3NB$ 。

(a) 用 $\mathbf{i}$ 、 $\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$ 表示向量 $\overrightarrow{OM}$ 和 $\overrightarrow{MN}$ 。

(3)

(b) 求过 $M$ 和 $N$ 的直线的向量方程。

(2)

(c) 证明从 $O$ 到过 $M$ 和 $N$ 的直线的垂线段长度为 $\sqrt{\dfrac{53}{6}}$ 。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

从长方体的单位向量方向确定 $D,F$ 坐标，再取中点。 $AN=3NB$ 表示 $N$ 位于从 $A$ 到 $B$ 的四分之三处。

答题过程

展开

From the dimensions,

D=(2,0,2),\qquad F=(0,4,2).

Their midpoint is $M=(1,2,2)$ , so

\boxed{\overrightarrow{OM}=\mathbf i+2\mathbf j+2\mathbf k}.

Also $A=(2,0,0)$ and $B=(2,4,0)$ . Since $AN=3NB$ ,

N=A+\frac34(B-A)=(2,3,0).

Therefore

\begin{align*} \overrightarrow{MN} =&\,(2,3,0)-(1,2,2)\\[4mm] =&\,\boxed{\mathbf i+\mathbf j-2\mathbf k}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用(a)的方向向量与直线上的点 $N$ 写向量方程。

答题过程

展开

A point on the line is $N=(2,3,0)$ and a direction vector is $(1,1,-2)$ . Hence

\boxed{\mathbf r= \begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}}.

(c)

解法一

思路

展开

设垂足在线上，位置向量与直线方向垂直。由点积为零求参数，再计算原点到垂足的距离。

答题过程

展开

Let the perpendicular foot be $P$ , with

\overrightarrow{OP}=(2+\lambda,3+\lambda,-2\lambda).

Since $OP\perp MN$ ,

(2+\lambda)+(3+\lambda)+4\lambda=0.

Thus $\lambda=-5/6$ , giving

P=\bigg(\frac76,\frac{13}{6},\frac53\bigg).

Therefore

\begin{align*} OP^2 =&\,\frac{49}{36}+\frac{169}{36}+\frac{25}{9}\\[4mm] =&\,\frac{318}{36}=\frac{53}{6}. \end{align*}

Hence $\boxed{OP=\sqrt{53/6}}$ .

解法二

思路

展开

也可将 $\overrightarrow{OM}$ 分成平行与垂直于 $MN$ 的分量。点积求出平行投影长度，再用勾股定理求垂直距离。

答题过程

展开

Take $\overrightarrow{OM}=(1,2,2)$ and a direction vector $\mathbf d=(1,1,-2)$ . Then

\begin{align*} |\overrightarrow{OM}|^2=&\,9,\\[4mm] |\mathbf d|^2=&\,6,\\[4mm] \overrightarrow{OM}\cdot\mathbf d=&\,1+2-4=-1. \end{align*}

The squared projection length onto the line direction is $(-1)^2/6=1/6$ . Therefore the squared perpendicular distance from $O$ to the line through $M$ is

9-\frac16=\frac{53}{6}.

Thus the distance is $\boxed{\sqrt{53/6}}$ .

CIE 9709 2022 June Paper 31 Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程