复数 $-1+\sqrt7\mathrm{i}$ 记为 $u$。已知 $u$ 是方程

的一个根，其中 $k$ 为实常数。

(a) 求 $k$ 的值。

(b) 求该方程的另外两个根。

(c) 在阿根图上，画出表示满足方程 $|z-u|=2$ 的复数 $z$ 的点的轨迹草图。

(d) 求此轨迹上的点所对应的 $\arg z$ 的最大值，答案用弧度表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先算给定复数根的平方与立方，代入三次方程。实部决定 $k$，虚部应相消。

Let $u=-1+\sqrt7\,\mathrm{i}$. Then

and

Since $u$ is a root,

Therefore $\boxed{k=-8}$.

多项式系数均为实数，非实根的共轭也是根。用这两个根构造实二次因子，再求剩余一次因子。

Since the coefficients are real, the conjugate root is

The quadratic factor from the conjugate pair is

Using $k=-8$, the quotient by $x^2+2x+8$ has leading term $2x$. The $x^2$ coefficient then gives the remaining constant as $3-4=-1$, so

Thus the remaining root is $\boxed{x=1/2}$, and the other two roots are $-1-\sqrt7\,\mathrm{i}$ and $1/2$.

模等于常数表示到复数点 $u$ 的距离固定，即圆周，不能涂整个圆盘。

The locus is the circle

with centre $(-1,\sqrt7)$ and radius $2$. Sketch the circumference and label the centre and radius.

从原点向圆作较大辐角方向的切线。利用原点、圆心、切点组成的直角三角形，给圆心辐角加上切线偏角。

Let $C=(-1,\sqrt7)$ and let $T$ be the tangency point giving the greater argument. Then

Since $CT\perp OT$,

The centre is in the second quadrant, with

Therefore

Hence $\boxed{\max\arg z=2.72\text{ radians}}$ to 3 significant figures.