题目

Problem

The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\mathrm{e}^{y-x},

and $y=0$ when $x=0$ .

(a) Solve the differential equation, obtaining an expression for $y$ in terms of $x$ .

(7)

(b) Find the value of $y$ when $x=1$ , giving your answer in the form $a-\ln b$ , where $a$ and $b$ are integers.

(1)

题目中文翻译

变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\mathrm{e}^{y-x},

且当 $x=0$ 时， $y=0$ 。

(a) 解此微分方程，求出用 $x$ 表示 $y$ 的表达式。

(7)

(b) 求 $x=1$ 时 $y$ 的值，答案以 $a-\ln b$ 的形式表示，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。

(1)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分离变量后，左侧积分指数函数，右侧用分部积分。初值使常数为零，但仍要实际代入展示。

答题过程

展开

Separating variables,

e^{-y}\,\mathrm{d}y=xe^{-x}\,\mathrm{d}x.

For the right side, integration by parts gives

\begin{align*} \int xe^{-x}\,\mathrm{d}x =&\,-xe^{-x}+\int e^{-x}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,-xe^{-x}-e^{-x}+C_1. \end{align*}

Hence

-e^{-y}=-xe^{-x}-e^{-x}+C.

Using $x=0$ , $y=0$ ,

\begin{align*} -1=&\,-1+C,\\[4mm] C=&\,0. \end{align*}

Therefore

e^{-y}=(x+1)e^{-x}.

The right side must be positive, so the initial-value branch has $x>-1$ . Taking logarithms,

-y=\ln(x+1)-x.

Thus

\boxed{y=x-\ln(x+1),\qquad x>-1}.

(b)

解法一

思路

展开

将 $x=1$ 代入(a)的显式解，保留指定的精确形式。

答题过程

展开

Using part (a), when $x=1$ ,

\boxed{y=1-\ln2}.

CIE 9709 2022 June Paper 32 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程