直线 $l$ 和 $m$ 的向量方程分别为

和

其中 $a$ 和 $b$ 为常数。

(a) 已知 $l$ 和 $m$ 相交，证明 $2b-a=4$。

(b) 另已知 $l$ 和 $m$ 互相垂直，求 $a$ 和 $b$ 的值。

(c) 当 $a$ 和 $b$ 取上述值时，求 $l$ 和 $m$ 的交点的位置向量。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

交点的三个分量相等，先用第三分量消去 $\lambda$，再从前两分量消去 $\mu$，注意先证明可约的参数非零。

At an intersection,

The third gives $\lambda=1-\mu$. Substituting into the first two,

The second equation shows $\mu\ne0$. Adding the first equation to twice the second gives

Therefore $a+4-2b=0$, so

利用方向向量垂直的点积条件，与(a)的相交条件联立。

The direction vectors are $(2,-1,-1)$ and $(a,b,1)$. Perpendicularity gives

Using $a=2b-4$ from part (a),

Thus $\boxed{b=3,\qquad a=2}$.

将(a)(b)求出的常数代入分量方程，解参数并核对三分量。

With $a=2$, $b=3$, the equations from part (a) give

and $\lambda=1-\mu=2$.

Using line $l$,

Line $m$ gives $(5,4,3)-(2,3,1)=(3,1,2)$ as well. Hence the intersection has position vector