题目

Problem

The curve $y=\mathrm{e}^{-4x}\tan x$ has two stationary points in the interval $0\leq x<\frac12\pi$ .

(a) Obtain an expression for $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ and show it can be written in the form $\sec^2x(a+b\sin2x)\mathrm{e}^{-4x}$ , where $a$ and $b$ are constants.

(4)

(b) Hence find the exact $x$ -coordinates of the two stationary points.

(3)

题目中文翻译

曲线 $y=\mathrm{e}^{-4x}\tan x$ 在区间 $0\leq x<\frac12\pi$ 内有两个驻点。

(a) 求 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的表达式，并证明它可以写成 $\sec^2x(a+b\sin2x)\mathrm{e}^{-4x}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。

(4)

(b) 由此求这两个驻点的 $x$ 坐标的精确值。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先用乘积法则求导，再提出 $\sec^2x$ ，利用 $\tan x/\sec^2x=\sin x\cos x$ 与二倍角公式整理。

答题过程

展开

Differentiating,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =-4e^{-4x}\tan x+e^{-4x}\sec^2x.

Thus

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,e^{-4x}\sec^2x \bigg(1-\frac{4\tan x}{\sec^2x}\bigg)\\[4mm] =&\,e^{-4x}\sec^2x(1-4\sin x\cos x)\\[4mm] =&\,\boxed{\sec^2x(1-2\sin2x)e^{-4x}}. \end{align*}

Hence $\boxed{a=1,\quad b=-2}$ .

(b)

解法一

思路

展开

区间内指数与正割平方都为正，因此驻点由括号中的因子为零决定；解出的角须保持精确弧度形式。

答题过程

展开

From part (a), the stationary condition is

\begin{align*} 1-2\sin2x=&\,0,\\[4mm] \sin2x=&\,\frac12. \end{align*}

Since $0\le2x<\pi$ ,

2x=\frac\pi6\quad\text{or}\quad\frac{5\pi}{6}.

Therefore

\boxed{x=\frac\pi{12}\quad\text{or}\quad\frac{5\pi}{12}}.

CIE 9709 2022 June Paper 33 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程