题目

Problem

The parametric equations of a curve are $x=\dfrac1{\cos t}$ , $y=\ln\tan t$ , where $0<t<\frac12\pi$ .

(a) Show that

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\cos t}{\sin^2t}.

(5)

(b) Find the equation of the tangent to the curve at the point where $y=0$ .

(3)

题目中文翻译

一条曲线的参数方程为 $x=\dfrac1{\cos t}$ 、 $y=\ln\tan t$ ，其中 $0<t<\frac12\pi$ 。

(a) 证明

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\cos t}{\sin^2t}.

(5)

(b) 求曲线在 $y=0$ 处的切线方程。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分别求两个参数导数，再取比值。利用正割、正切的定义化成正弦与余弦的形式。

答题过程

展开

For $x=\sec t$ and $y=\ln\tan t$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=&\,\sec t\tan t,\\[4mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{\sec^2t}{\tan t}. \end{align*}

Since $0<t<\pi/2$ , the denominator in the derivative ratio is non-zero. Hence

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{\sec^2t/\tan t}{\sec t\tan t} =\frac{\sec t}{\tan^2t}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{\cos t}{\sin^2t}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

由 $y=0$ 得到参数值，再求点坐标与切线斜率，代入点斜式。

答题过程

展开

If $y=0$ , then $\ln\tan t=0$ , so $\tan t=1$ . In the given interval, $t=\pi/4$ .

Thus $x=\sec(\pi/4)=\sqrt2$ . From part (a),

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{\cos(\pi/4)}{\sin^2(\pi/4)} =\frac{1/\sqrt2}{1/2}=\sqrt2.

The tangent through $(\sqrt2,0)$ is

y=\sqrt2(x-\sqrt2),

or $\boxed{y=\sqrt2x-2}$ .

CIE 9709 2022 June Paper 33 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程