从开始观测起经过 $t$ 天时，某昆虫种群中的昆虫数量为 $N$。昆虫数量的变化用如下形式的微分方程建模：

其中 $k$ 为常数，$N$ 为连续变量。已知当 $t=0$ 时，$N=100$。

(a) 解此微分方程，求出 $N$、$k$ 和 $t$ 之间的关系。

(b) 另已知当 $t=50$ 时，$N=625$，求 $k$ 的值。

(c) 求出用 $t$ 表示 $N$ 的表达式，并求此模型预测的 $N$ 的最大值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

将 $N^{-3/2}$ 与时间函数分离，积分后使用初始种群值求常数。

Separating variables,

Since the derivative of $\sin(0.02t)$ is $0.02\cos(0.02t)$, integration gives

Using $N=100$ at $t=0$,

Therefore

代入第二组数据求 $k$，注意时间角使用弧度。

Using $N=625$, $t=50$ in part (a),

Thus

Therefore $\boxed{k=0.00285}$ to 3 significant figures.

先用未舍入的 $k$ 解出 $N$。分母始终为正，最大种群在正弦为 $1$ 时出现。

Rearranging part (a),

Using the exact value of $k$ from part (b),

Since $0<0.6/\sin1<1$, the denominator before squaring stays positive. It is least when $\sin(0.02t)=1$, first occurring at $t=25\pi$.

Thus

The greatest predicted population is therefore $\boxed{1.21\times10^3}$ insects to 3 significant figures.