多项式 $x^3+5x^2+31x+75$ 记为 $\mathrm{p}(x)$。

(a) 证明 $(x+3)$ 是 $\mathrm{p}(x)$ 的一个因式。

(b) 证明 $z=-1+2\sqrt6\mathrm{i}$ 是 $\mathrm{p}(z)=0$ 的一个根。

(c) 由此求方程 $\mathrm{p}(z^2)=0$ 的各复数根 $z$。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用因式定理代入 $x=-3$。同时保留分解得到的二次因子，方便后面处理复数根。

By the factor theorem,

Hence $\boxed{x+3\text{ is a factor of }\mathrm p(x)}$.

Polynomial division gives the useful factorisation

先直接算给定复数的平方与立方，再代入多项式，分别检查实部和虚部相消。

Let $z=-1+2\sqrt6\,\mathrm{i}$. Then

and

Therefore

Thus $\boxed{-1+2\sqrt6\,\mathrm{i}\text{ is a root}}$.

利用(a)的二次因子求根，能直接展示给定复数为何是根。

From part (a),

The quadratic factor is zero when

In particular, $\boxed{z=-1+2\sqrt6\,\mathrm{i}}$ makes this factor zero, and hence $\mathrm p(z)=0$.

承接(a)(b)，先列出 $z^2$ 的三个可能值，再分别开平方。非实根的实部、虚部符号要成对，最后明确列出六个根。

From parts (a) and (b), the three roots of $\mathrm p(w)=0$ are

Thus $\mathrm p(z^2)=0$ requires $z^2$ to equal one of these values.

For $z^2=-3$,

For $z^2=-1+2\sqrt6\,\mathrm{i}$, write $z=u+v\mathrm{i}$ with $u,v$ real. Then

Also

so $u^2+v^2=5$. Hence $u^2=2$ and $v^2=3$. Since $uv>0$, the paired roots are

For $z^2=-1-2\sqrt6\,\mathrm{i}$, taking conjugates gives the remaining two roots. The complete set is