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CIE 9709 2023 June Paper 31 Q4

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2023 June Paper 31 Paper · Question 4

题目

Problem

(a) Show that the equation sin⁡2θ+cos⁡2θ=2sin⁡2θ\sin2\theta+\cos2\theta=2\sin^2\theta can be expressed in the form

cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ−3sin⁡2θ=0.\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta-3\sin^2\theta=0.
(2)

(b) Hence solve the equation sin⁡2θ+cos⁡2θ=2sin⁡2θ\sin2\theta+\cos2\theta=2\sin^2\theta for 0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ.

(4)
题目中文翻译

(a) 证明方程 sin⁡2θ+cos⁡2θ=2sin⁡2θ\sin2\theta+\cos2\theta=2\sin^2\theta 可以表示为

cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ−3sin⁡2θ=0\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta-3\sin^2\theta=0

的形式。

(2)

(b) 由此解方程 sin⁡2θ+cos⁡2θ=2sin⁡2θ\sin2\theta+\cos2\theta=2\sin^2\theta，其中 0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ。

(4)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分别用正弦、余弦的二倍角公式，移项并合并 sin⁡2θ\sin^2\theta。

答题过程

展开

Using sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta and cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta,

2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ−sin⁡2θ=2sin⁡2θ.2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta =2\sin^2\theta.

Moving all terms to the left gives

cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ−3sin⁡2θ=0.\boxed{\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta-3\sin^2\theta=0}.

(b)

解法一

思路

展开

把(a)左侧直接分解为两个一次三角因子，分别求解，并在指定角度区间内筛选。

答题过程

展开

From part (a),

(cos⁡θ−sin⁡θ)(cos⁡θ+3sin⁡θ)=0.(\cos\theta-\sin\theta)(\cos\theta+3\sin\theta)=0.

If cos⁡θ=sin⁡θ\cos\theta=\sin\theta, then tan⁡θ=1\tan\theta=1, giving θ=45∘\theta=45^\circ in the interval.

If cos⁡θ=−3sin⁡θ\cos\theta=-3\sin\theta, then tan⁡θ=−1/3\tan\theta=-1/3, giving

θ= 180∘−tan⁡−113= 161.565…∘.\begin{align*} \theta=&\,180^\circ-\tan^{-1}\frac13\\[4mm] =&\,161.565\ldots^\circ. \end{align*}

Thus

θ=45∘or161.6∘.\boxed{\theta=45^\circ\quad\text{or}\quad161.6^\circ}.

解法二

思路

展开

也可先检查 cos⁡θ≠0\cos\theta\ne0，再除以 cos⁡2θ\cos^2\theta，得到关于 tan⁡θ\tan\theta 的二次方程。

答题过程

展开

At θ=90∘\theta=90^\circ, the left side of the equation in part (a) is −3-3, so this is not a solution. For the other angles in the interval, divide by cos⁡2θ\cos^2\theta:

1+2tan⁡θ−3tan⁡2θ=0.1+2\tan\theta-3\tan^2\theta=0.

Hence

(3tan⁡θ+1)(tan⁡θ−1)=0.(3\tan\theta+1)(\tan\theta-1)=0.

Therefore tan⁡θ=1\tan\theta=1 or tan⁡θ=−1/3\tan\theta=-1/3. In 0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ,

θ=45∘or161.6∘.\boxed{\theta=45^\circ\quad\text{or}\quad161.6^\circ}.