一条曲线的方程为 $x^2y-ay^2=4a^3$，其中 $a$ 为非零常数。

(a) 证明 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{2xy}{2ay-x^2}$。

(b) 由此求曲线上切线平行于 $y$ 轴的各点的坐标。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

将 $a$ 视为常数。对 $x^2y$ 使用乘积法则，对 $ay^2$ 使用链式法则，再把导数项移到一侧。

Differentiating $x^2y-ay^2=4a^3$ implicitly,

Therefore

so

竖直切线要求导数分母为零、分子非零。先联立 $2ay=x^2$ 与曲线，求出候选点，再确认分子不为零。

A tangent parallel to the $y$-axis requires

Using $x^2=2ay$ in the curve equation,

since $a\ne0$.

The possibility $y=-2a$ gives $x^2=2a(-2a)=-4a^2<0$, so it is impossible. Hence $y=2a$ and

At these points, $2xy=\pm8a^2\ne0$. Thus the required points are