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CIE 9709 2023 June Paper 31 Q6

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2023 June Paper 31 Paper · Question 6

题目

Problem

Relative to the origin OO, the points AA, BB and CC have position vectors given by

OA→=(213),OB→=(432)\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}

and

OC→=(3−2−4).\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}.

The quadrilateral ABCDABCD is a parallelogram.

(a) Find the position vector of DD.

(3)

(b) The angle between BABA and BCBC is θ\theta.

Find the exact value of cos⁡θ\cos\theta.

(3)

(c) Hence find the area of ABCDABCD, giving your answer in the form pqp\sqrt q, where pp and qq are integers.

(4)
题目中文翻译

相对于原点 OO，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为

OA→=(213),OB→=(432)\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}

和

OC→=(3−2−4).\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}.

四边形 ABCDABCD 是平行四边形。

(a) 求 DD 的位置向量。

(3)

(b) BABA 与 BCBC 之间的夹角为 θ\theta。

求 cos⁡θ\cos\theta 的精确值。

(3)

(c) 由此求 ABCDABCD 的面积，将答案表示为 pqp\sqrt q 的形式，其中 pp 和 qq 为整数。

(4)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

平行四边形按顶点顺序命名，所以 AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}。用已知位置向量相减得到边向量，再加回 AA。

答题过程

展开

Since ABCDABCD is a parallelogram,

AD→= BC→= (3−2−4)−(432)= (−1−5−6).\begin{align*} \overrightarrow{AD}=&\,\overrightarrow{BC}\\[4mm] =&\,\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}\\[4mm] =&\,\begin{pmatrix}-1\\-5\\-6\end{pmatrix}. \end{align*}

Hence

OD→= OA→+AD→= (213)+(−1−5−6)= (1−4−3).\begin{align*} \overrightarrow{OD} =&\,\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}\\[4mm] =&\,\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-1\\-5\\-6\end{pmatrix}\\[4mm] =&\,\begin{pmatrix}1\\-4\\-3\end{pmatrix}. \end{align*}

Thus OD→=i−4j−3k\boxed{\overrightarrow{OD}=\mathbf i-4\mathbf j-3\mathbf k}.

(b)

解法一

思路

展开

夹角顶点在 BB，应使用 BA→\overrightarrow{BA} 与 BC→\overrightarrow{BC}。代入点积公式后保留精确值。

答题过程

展开

The relevant vectors are

BA→= (−2,−2,1),BC→= (−1,−5,−6).\begin{align*} \overrightarrow{BA}=&\,(-2,-2,1),\\[4mm] \overrightarrow{BC}=&\,(-1,-5,-6). \end{align*}

Their scalar product is

BA→⋅BC→=2+10−6=6.\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} =2+10-6=6.

Their lengths are 33 and 62\sqrt{62}. Therefore

cos⁡θ=6362=262.\boxed{\cos\theta=\frac6{3\sqrt{62}} =\frac2{\sqrt{62}}}.

(c)

解法一

思路

展开

利用(b)求 sin⁡θ\sin\theta。平行四边形面积等于相邻边长之积乘夹角正弦，不要误用三角形的 12\tfrac12。

答题过程

展开

Using part (b),

sin⁡2θ=1−cos⁡2θ=1−462=5862.\sin^2\theta=1-\cos^2\theta =1-\frac4{62}=\frac{58}{62}.

Since 0<θ<π0<\theta<\pi, sin⁡θ>0\sin\theta>0, so

sin⁡θ=5862.\sin\theta=\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{62}}.

Thus the area of the parallelogram is

∣BA→∣ ∣BC→∣sin⁡θ=362 5862=358.|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BC}|\sin\theta =3\sqrt{62}\,\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{62}} =\boxed{3\sqrt{58}}.