设 $\mathrm{f}(x)=\dfrac{3-3x^2}{(2x+1)(x+2)^2}$。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为部分分式。

(b) 由此求 $\displaystyle\int_0^4\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x$ 的精确值，将答案表示为 $a+b\ln c$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 为整数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

重复因子 $x+2$ 对应两个分式。清分母后用特殊值求系数，最后比较最高次项。

Write

Then

At $x=-1/2$,

At $x=-2$,

Comparing coefficients of $x^2$ gives $-3=A+2B$, so $B=-2$. Therefore

利用(a)逐项积分，平方分母的项积分后是负的一次倒数，不是对数。代入上下限后合并对数。

Using part (a),

The logarithm arguments are positive throughout $0\le x\le4$.