题目

Problem

The complex number $2+y\mathrm{i}$ is denoted by $a$ , where $y$ is a real number and $y<0$ . It is given that $\mathrm{f}(a)=a^3-a^2-2a$ .

(a) Find a simplified expression for $\mathrm{f}(a)$ in terms of $y$ .

(3)

(b) Given that $\operatorname{Re}(\mathrm{f}(a))=-20$ , find $\arg a$ .

(3)

题目中文翻译

复数 $2+y\mathrm{i}$ 记为 $a$ ，其中 $y$ 为实数且 $y<0$ 。已知 $\mathrm{f}(a)=a^3-a^2-2a$ 。

(a) 求用 $y$ 表示的 $\mathrm{f}(a)$ 的化简表达式。

(3)

(b) 已知 $\operatorname{Re}(\mathrm{f}(a))=-20$ ，求 $\arg a$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先分别展开 $a^2$ 、 $a^3$ ，再计算组合。将实数项与含 $\mathrm{i}$ 的项分开，有助于避免符号错误。

答题过程

展开

For $a=2+y\mathrm{i}$ ,

a^2=4+4y\mathrm{i}-y^2,

and

\begin{align*} a^3 =&\,(4+4y\mathrm{i}-y^2)(2+y\mathrm{i})\\[4mm] =&\,8-2y^2-4y^2\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+(4y+8y-y^3)\mathrm{i}\\[4mm] =&\,8-6y^2+(12y-y^3)\mathrm{i}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \mathrm f(a) =&\,a^3-a^2-2a\\[4mm] =&\,8-6y^2+(12y-y^3)\mathrm{i}\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-(4-y^2+4y\mathrm{i})-(4+2y\mathrm{i})\\[4mm] =&\,\boxed{-5y^2+(6y-y^3)\mathrm{i}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

利用实部条件先求 $y$ ，再用题给 $y<0$ 选择符号。最后根据第四象限确定辐角。

答题过程

展开

From part (a),

\begin{align*} -5y^2=&\,-20,\\[4mm] y^2=&\,4. \end{align*}

Since $y<0$ , $y=-2$ , so $a=2-2\mathrm{i}$ .

The real part is positive and the imaginary part negative, with equal magnitudes. Therefore

\boxed{\arg a=-\frac\pi4}.

CIE 9709 2023 June Paper 32 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程