(a) 变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

已知当 $x=1$ 时，$y=0$。

解此微分方程，求用 $x$ 表示 $y$ 的表达式。

(b) 说明当 $x$ 趋于无穷大时，$y$ 的值如何变化。答案用精确形式表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分离变量后，左侧是反正切型积分，右侧是指数型积分。用初值求常数，再取正切写成显式解。

Separating variables,

The chain rule gives $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\tan^{-1}(3y/2)=\dfrac6{4+9y^2}$, and $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{-(2x+1)}=-2e^{-(2x+1)}$. Thus integrating gives

Using $y=0$ at $x=1$,

Therefore

Taking tangents,

The branch through the initial point is taken where the argument of the tangent remains in $(-\pi/2,\pi/2)$.

当 $x\to\infty$ 时，随 $x$ 衰减的指数项趋于零，保留精确的极限表达式。

As $x\to\infty$, $e^{-(2x+1)}\to0$. Hence