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CIE 9709 2023 June Paper 32 Q9

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2023 June Paper 32 Paper · Question 9

题目

Problem

Let f(x)=2x2+17x−17(1+2x)(2−x)2\mathrm{f}(x)=\dfrac{2x^2+17x-17}{(1+2x)(2-x)^2}.

(a) Express f(x)\mathrm{f}(x) in partial fractions.

(5)

(b) Hence show that ∫01f(x) dx=52−ln⁡72\displaystyle\int_0^1\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x=\frac52-\ln72.

(5)
题目中文翻译

设 f(x)=2x2+17x−17(1+2x)(2−x)2\mathrm{f}(x)=\dfrac{2x^2+17x-17}{(1+2x)(2-x)^2}。

(a) 将 f(x)\mathrm{f}(x) 表示为部分分式。

(5)

(b) 由此证明 ∫01f(x) dx=52−ln⁡72\displaystyle\int_0^1\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x=\frac52-\ln72。

(5)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

重复的一次因子对应两个分式。清分母后代入使一个因子为零的值，再比较二次项系数。

答题过程

展开

Write

f(x)=A1+2x+B2−x+C(2−x)2.\mathrm f(x)=\frac{A}{1+2x}+\frac{B}{2-x}+\frac{C}{(2-x)^2}.

Then

2x2+17x−17= A(2−x)2 +B(1+2x)(2−x) +C(1+2x).\begin{align*} 2x^2+17x-17 =&\,A(2-x)^2\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+B(1+2x)(2-x)\\[4mm] &\,\hspace{4pt}+C(1+2x). \end{align*}

At x=−1/2x=-1/2,

−25=254A,soA=−4.-25=\frac{25}{4}A,\quad\text{so}\quad A=-4.

At x=2x=2,

25=5C,soC=5.25=5C,\quad\text{so}\quad C=5.

Comparing coefficients of x2x^2 gives 2=A−2B2=A-2B, so B=−3B=-3. Therefore

f(x)=−41+2x−32−x+5(2−x)2.\boxed{\mathrm f(x)=-\frac4{1+2x}-\frac3{2-x}+\frac5{(2-x)^2}}.

(b)

解法一

思路

展开

利用(a)逐项积分，特别注意 2−x2-x 的导数为负。代入端点后，用对数法则整理出题给的 ln⁡72\ln72。

答题过程

展开

Using part (a), and noting that the logarithm arguments are positive on [0,1][0,1],

I= [−2ln⁡(1+2x)+3ln⁡(2−x)+52−x]01= (−2ln⁡3+5)−(3ln⁡2+52)= 52−2ln⁡3−3ln⁡2= 52−ln⁡(32 23)= 52−ln⁡72.\begin{align*} I =&\,\bigg[-2\ln(1+2x)+3\ln(2-x)+\frac5{2-x}\bigg]_0^1\\[4mm] =&\,(-2\ln3+5)-\bigg(3\ln2+\frac52\bigg)\\[4mm] =&\,\frac52-2\ln3-3\ln2\\[4mm] =&\,\frac52-\ln(3^2\,2^3)\\[4mm] =&\,\boxed{\frac52-\ln72}. \end{align*}