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CIE 9709 2023 June Paper 33 Q7

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2023 June Paper 33 Paper · Question 7

题目

Problem

(a) Use the substitution u=cos⁡xu=\cos x to show that

∫0πsin⁡2x e2cos⁡x dx=∫−112ue2u du.\int_0^\pi\sin2x\,\mathrm{e}^{2\cos x}\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^1 2u\mathrm{e}^{2u}\,\mathrm{d}u.
(4)

(b) Hence find the exact value of ∫0πsin⁡2x e2cos⁡x dx\displaystyle\int_0^\pi\sin2x\,\mathrm{e}^{2\cos x}\,\mathrm{d}x.

(4)
题目中文翻译

(a) 使用代换 u=cos⁡xu=\cos x，证明

∫0πsin⁡2x e2cos⁡x dx=∫−112ue2u du.\int_0^\pi\sin2x\,\mathrm{e}^{2\cos x}\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^1 2u\mathrm{e}^{2u}\,\mathrm{d}u.
(4)

(b) 由此求 ∫0πsin⁡2x e2cos⁡x dx\displaystyle\int_0^\pi\sin2x\,\mathrm{e}^{2\cos x}\,\mathrm{d}x 的精确值。

(4)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

代换后必须把 sin⁡2x\sin2x 展开成 2sin⁡xcos⁡x2\sin x\cos x，让 sin⁡x dx\sin x\,\mathrm{d}x 与微分对应。再明确换算两个端点，处理次序反向。

答题过程

展开

Put u=cos⁡xu=\cos x. Then

dudx=−sin⁡x,du=−sin⁡x dx.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\sin x, \qquad \mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x.

Using sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x,

sin⁡2x e2cos⁡x dx=2ue2usin⁡x dx=−2ue2u du.\sin2x\,e^{2\cos x}\,\mathrm{d}x =2u e^{2u}\sin x\,\mathrm{d}x =-2u e^{2u}\,\mathrm{d}u.

When x=0x=0, u=1u=1; when x=πx=\pi, u=−1u=-1. Therefore

∫0πsin⁡2x e2cos⁡x dx= −∫1−12ue2u du= ∫−112ue2u du.\begin{align*} \int_0^\pi\sin2x\,e^{2\cos x}\,\mathrm{d}x =&\,-\int_1^{-1}2u e^{2u}\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\boxed{\int_{-1}^{1}2u e^{2u}\,\mathrm{d}u}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

承接(a)得到的积分，用分部积分处理 ue2uu e^{2u}，最后按新变量上下限代入。

答题过程

展开

By part (a), the required integral is

I=∫−112ue2u du.I=\int_{-1}^{1}2u e^{2u}\,\mathrm{d}u.

Integration by parts gives

∫2ue2u du= ue2u−∫e2u du= ue2u−12e2u+C.\begin{align*} \int2u e^{2u}\,\mathrm{d}u =&\,u e^{2u}-\int e^{2u}\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,u e^{2u}-\frac12e^{2u}+C. \end{align*}

Hence

I= [ue2u−12e2u]−11= (e2−12e2)−(−e−2−12e−2)= 12e2+32e−2.\begin{align*} I =&\,\bigg[u e^{2u}-\frac12e^{2u}\bigg]_{-1}^{1}\\[4mm] =&\,\bigg(e^2-\frac12e^2\bigg) -\bigg(-e^{-2}-\frac12e^{-2}\bigg)\\[4mm] =&\,\boxed{\frac12e^2+\frac32e^{-2}}. \end{align*}