题目

Problem

The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^2+4}{x(y+4)}

for $x>0$ . It is given that $x=4$ when $y=2\sqrt3$ .

Solve the differential equation to obtain the value of $x$ when $y=2$ .

(8)

题目中文翻译

变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^2+4}{x(y+4)},

其中 $x>0$ 。已知当 $y=2\sqrt3$ 时， $x=4$ 。

解此微分方程，求 $y=2$ 时 $x$ 的值。

(8)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

分离变量后把含 $y$ 的分式拆成对数型与反正切型。用初始点定常数，再代入目标 $y=2$ ，最终指数化解出 $x$ 。

答题过程

展开

Separating variables,

\frac{y+4}{y^2+4}\,\mathrm{d}y=\frac1x\,\mathrm{d}x.

Split the left side:

\int\bigg(\frac{y}{y^2+4}+\frac4{y^2+4}\bigg)\,\mathrm{d}y =\int\frac1x\,\mathrm{d}x.

The derivatives of $\ln(y^2+4)$ and $\tan^{-1}(y/2)$ are $2y/(y^2+4)$ and $2/(y^2+4)$ respectively. Since $x>0$ , integration gives

\frac12\ln(y^2+4)+2\tan^{-1}\frac y2 =\ln x+C.

At $x=4$ , $y=2\sqrt3$ ,

\frac12\ln16+2\tan^{-1}\sqrt3=\ln4+C,

so $C=2\pi/3$ . Thus

\frac12\ln(y^2+4)+2\tan^{-1}\frac y2 =\ln x+\frac{2\pi}{3}.

When $y=2$ ,

\frac12\ln8+\frac\pi2=\ln x+\frac{2\pi}{3}.

Therefore

\ln x=\ln(2\sqrt2)-\frac\pi6,

giving

\boxed{x=2\sqrt2\,e^{-\pi/6}}.

CIE 9709 2023 June Paper 33 Q8

题目

解答

解法一

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