直线 $l$ 和 $m$ 的方程为

相对于原点 $O$，点 $P$ 的位置向量为 $4\mathbf{i}+7\mathbf{j}-2\mathbf{k}$。

(a) 已知 $l$ 垂直于 $m$，且 $P$ 在 $l$ 上，求常数 $a$、$b$ 和 $c$ 的值。

(b) 从 $P$ 作的垂线与直线 $m$ 相交于 $Q$。点 $R$ 在 $PQ$ 的延长线上，且 $PQ:QR=2:3$。

求 $R$ 的位置向量。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

两条直线方向垂直，点积为零先求 $c$。再用 $P$ 的第二分量求参数，代回第一、第三分量求 $a,b$。

The direction vectors are $(c,-2,4)$ and $(2,-3,1)$. Perpendicularity gives

Since $P=(4,7,-2)$ lies on $l$, its second component gives

The first component then gives

The third component gives

先在 $m$ 上设垂足 $Q$，用 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $m$ 的方向点积为零。外分点 $R$ 在 $Q$ 之后，所以 $\overrightarrow{PR}=\tfrac52\overrightarrow{PQ}$。

A general point on $m$ is $Q=(1+2\mu,2-3\mu,3+\mu)$. Since $P=(4,7,-2)$,

For the perpendicular foot,

Thus

so $14\mu+14=0$ and $\mu=-1$. Hence

Since $PQ:QR=2:3$ and $R$ lies beyond $Q$,

Therefore

利用(a)已知 $P$ 在 $l$ 上且两线垂直，可先寻找两线交点。确认三分量一致后，该交点就是垂足，再求外分点。

Using part (a), the lines are

Equating the second and third components gives

From the second equation $\mu=3+4\lambda$. Substitution into the first gives $\lambda=-1$, and then $\mu=-1$.

The first components also agree:

Thus the lines meet at $Q=(-1,5,2)$. Since they are perpendicular and $P$ lies on $l$, this is the foot from $P$ to $m$.

Now $\overrightarrow{PQ}=(-5,-2,4)$ and $\overrightarrow{QR}=\tfrac32\overrightarrow{PQ}$, so

垂足是直线上到 $P$ 距离最短的点。把距离平方写成参数的二次式，配方求最小值，再使用外分比例求 $R$。

For a point $Q=(1+2\mu,2-3\mu,3+\mu)$ on $m$,

The minimum occurs at $\mu=-1$, so the perpendicular foot is $Q=(-1,5,2)$. Thus $\overrightarrow{PQ}=(-5,-2,4)$. Since $R$ lies beyond $Q$ and $PQ:QR=2:3$,