一块田地里有 $300$ 株某种植物，它们都可能感染某种疾病。在第一株植物感染后经过时间 $t$ 时，有 $x$ 株植物受到感染。$x$ 的变化率与已感染植物的数量和尚未感染植物的数量的乘积成正比。变量 $x$ 和 $t$ 被视为连续变量，且已知当 $t=0$ 时，$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=0.2$ 且 $x=1$。

(a) 证明 $x$ 和 $t$ 满足微分方程

(b) 使用部分分式解此微分方程，并求出 $t$ 的表达式，其中用一个含 $x$ 的对数表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

未感染植物数是 $300-x$。按正比关系设方程，再用初始瞬时变化率求比例常数。

There are $x$ infected plants and $300-x$ uninfected plants. Hence

Using $x=1$ and $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=0.2$ at $t=0$,

Thus

分离变量后按要求做部分分式，对数积分的第二项有负号。初值确定常数，最后合并成一个对数。

Separating variables,

Write

Multiplying through gives

Putting $x=0$ and $x=300$ gives $A=B=1/300$. Therefore

The second term integrates to $-\ln(300-x)$ because its inner derivative is $-1$. For $0<x<300$,

Using $x=1$ at $t=0$,

Hence, combining the logarithms,