题目

Problem

The variables $x$ and $y$ satisfy the equation $a^y=bx$ , where $a$ and $b$ are constants. The graph of $y$ against $\ln x$ is a straight line passing through the points $(0.336,1.00)$ and $(1.31,1.50)$ , as shown in the diagram.

Find the values of $a$ and $b$ . Give each value correct to the nearest integer.

(4)

题目中文翻译

变量 $x$ 和 $y$ 满足方程 $a^y=bx$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。如图所示， $y$ 对 $\ln x$ 的图像是一条经过点 $(0.336,1.00)$ 和 $(1.31,1.50)$ 的直线。

求 $a$ 和 $b$ 的值。每个值四舍五入至最接近的整数。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

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取对数后，注意横轴是 $\ln x$ ，斜率是 $1/\ln a$ 。也可将两个点直接代入同一个线性关系求解。

答题过程

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Taking logarithms,

y\ln a=\ln b+\ln x.

The two plotted points give

\ln a=\ln b+0.336,

and

1.50\ln a=\ln b+1.31.

Subtracting,

0.50\ln a=0.974 \quad\Longrightarrow\quad \ln a=1.948.

Thus

a=e^{1.948}=7.01464\ldots.

Also,

\ln b=1.948-0.336=1.612,

so $b=e^{1.612}=5.01282\ldots$ .

To the nearest integer,

\boxed{a=7,\qquad b=5}.

CIE 9709 2024 June Paper 31 Q3

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