题目

Problem

The complex number $u$ is given by $u=-1-\mathrm{i}\sqrt3$ .

(a) Express $u$ in the form $r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$ , where $r>0$ and $-\pi<\theta\le\pi$ . Give the exact values of $r$ and $\theta$ .

(2)

The complex number $v$ is given by $v=5\big(\cos\frac16\pi+\mathrm{i}\sin\frac16\pi\big)$ .

(b) Express the complex number $\frac vu$ in the form $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ where $r>0$ and $-\pi<\theta\le\pi$ .

(2)

题目中文翻译

复数 $u$ 为 $u=-1-\mathrm{i}\sqrt3$ 。

(a) 将 $u$ 表示为 $r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$ 的形式，其中 $r>0$ 且 $-\pi<\theta\le\pi$ 。给出 $r$ 和 $\theta$ 的精确值。

(2)

复数 $v$ 为 $v=5\big(\cos\frac16\pi+\mathrm{i}\sin\frac16\pi\big)$ 。

(b) 将复数 $\frac vu$ 表示为 $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ 的形式，其中 $r>0$ 且 $-\pi<\theta\le\pi$ 。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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先求模长，再根据第三象限选择负的主辐角。

答题过程

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The modulus is

|u|=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}=2.

The point is in the third quadrant, with principal argument $-2\pi/3$ . Hence

\boxed{ u=2\bigg(\cos\bigg(-\frac{2\pi}{3}\bigg) +\mathrm{i}\sin\bigg(-\frac{2\pi}{3}\bigg)\bigg) }.

Thus $r=2$ and $\theta=-2\pi/3$ .

(b)

解法一

思路

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相除时模长相除、辐角相减，再确认结果属于主值范围。

答题过程

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Using (a),

\begin{align*} \frac vu =&\,\frac52e^{\,\mathrm{i}(\pi/6-(-2\pi/3))}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac52e^{5\pi\mathrm{i}/6}}. \end{align*}

The argument $5\pi/6$ lies in $(-\pi,\pi]$ .

CIE 9709 2024 June Paper 31 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程