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CIE 9709 2024 June Paper 31 Q9

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2024 June Paper 31 Paper · Question 9

题目

Problem

The equations of two straight lines l1l_1 and l2l_2 are

l1:r=i−2j+3k+λ(2i−j+ak)l_1:\quad\mathbf{r}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}+\lambda(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+a\mathbf{k})

and

l2:r=−i−j−k+μ(3i−2j−2k),l_2:\quad\mathbf{r}=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}+\mu(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k}),

where aa is a constant.

The lines l1l_1 and l2l_2 are perpendicular.

(a) Show that a=4a=4.

(1)

The lines l1l_1 and l2l_2 also intersect.

(b) Find the position vector of the point of intersection.

(4)

The point AA has position vector −5i+j−9k-5\mathbf{i}+\mathbf{j}-9\mathbf{k}.

(c) Show that AA lies on l1l_1.

(2)

The point BB is the image of AA after a reflection in the line l2l_2.

(d) Find the position vector of BB.

(2)
题目中文翻译

两条直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程为

l1:r=i−2j+3k+λ(2i−j+ak)l_1:\quad\mathbf{r}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}+\lambda(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+a\mathbf{k})

和

l2:r=−i−j−k+μ(3i−2j−2k),l_2:\quad\mathbf{r}=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}+\mu(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k}),

其中 aa 为常数。

直线 l1l_1 和 l2l_2 相互垂直。

(a) 证明 a=4a=4。

(1)

直线 l1l_1 和 l2l_2 也相交。

(b) 求交点的位置向量。

(4)

点 AA 的位置向量为 −5i+j−9k-5\mathbf{i}+\mathbf{j}-9\mathbf{k}。

(c) 证明 AA 在 l1l_1 上。

(2)

点 BB 是点 AA 关于直线 l2l_2 反射后的像。

(d) 求 BB 的位置向量。

(2)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

垂直方向的点积为零，直接得到 aa。

答题过程

展开

The direction vectors are (2,−1,a)(2,-1,a) and (3,−2,−2)(3,-2,-2). Since the lines are perpendicular,

2(3)+(−1)(−2)+a(−2)=0.2(3)+(-1)(-2)+a(-2)=0.

Thus 8−2a=08-2a=0, giving a=4\boxed{a=4}.

(b)

解法一

思路

展开

联立两条直线的分量，求参数后验证第三项。

答题过程

展开

With a=4a=4, the intersection satisfies

1+2λ= −1+3μ,−2−λ= −1−2μ,3+4λ= −1−2μ.\begin{align*} 1+2\lambda=&\,-1+3\mu,\\[4mm] -2-\lambda=&\,-1-2\mu,\\[4mm] 3+4\lambda=&\,-1-2\mu. \end{align*}

The first two components give

2λ−3μ= −2,−λ+2μ= 1.\begin{align*} 2\lambda-3\mu=&\,-2,\\[4mm] -\lambda+2\mu=&\,1. \end{align*}

Thus λ=2μ−1\lambda=2\mu-1. Substituting,

2(2μ−1)−3μ=−2⟹μ=0, λ=−1.2(2\mu-1)-3\mu=-2 \quad\Longrightarrow\quad \mu=0,\ \lambda=-1.

The third component agrees: 3+4(−1)=−13+4(-1)=-1. Therefore the intersection has position vector

−i−j−k.\boxed{-\mathbf i-\mathbf j-\mathbf k}.

(c)

解法一

思路

展开

由一个分量求出参数，再把同一个参数代入另外两个分量验证。

答题过程

展开

For A=(−5,1,−9)A=(-5,1,-9), the first component of l1l_1 gives

1+2λ=−5⟹λ=−3.1+2\lambda=-5\quad\Longrightarrow\quad\lambda=-3.

The other components then give

−2−λ= 1,3+4λ= −9.\begin{align*} -2-\lambda=&\,1,\\[4mm] 3+4\lambda=&\,-9. \end{align*}

All three agree with AA, so A lies on l1\boxed{A\text{ lies on }l_1}.

(d)

解法一

思路

展开

两直线互相垂直且相交，交点就是从 AA 到反射轴的垂足。利用垂足为 ABAB 的中点求反射点。

答题过程

展开

Let the intersection in (b) be PP. Since AA lies on l1l_1 and l1⊥l2l_1\perp l_2, APAP is perpendicular to the reflection axis l2l_2.

Thus PP is the midpoint of ABAB, and

OB→= 2OP→−OA→= 2(−1,−1,−1)−(−5,1,−9)= 3i−3j+7k.\begin{align*} \overrightarrow{OB} =&\,2\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\\ =&\,2(-1,-1,-1)-(-5,1,-9)\\ =&\,\boxed{3\mathbf i-3\mathbf j+7\mathbf k}. \end{align*}