(a) 已知方程 $\mathrm{e}^{2x}=5+\cos3x$ 只有一个根。

通过计算证明此根位于区间 $0.7<x<0.8$ 内。

(b) 证明：如果由迭代公式

给出的、取值在区间 $0.7<x<0.8$ 内的数列收敛，那么它收敛于 (a) 问中方程的根。

(c) 使用此迭代公式求此根，结果保留 $3$ 位小数。每次迭代的结果保留 $5$ 位小数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

构造连续函数并计算区间端点，弧度制下的变号确定根的位置。

Let $f(x)=e^{2x}-5-\cos3x$. Using radians,

Since $f$ is continuous, the sign change proves that a root lies in $(0.7,0.8)$. The question gives uniqueness, so the required root satisfies

取极限后得到不动点方程，再指数化即可恢复原方程。

If the sequence converges to $L$, then $0.7\leqslant L\leqslant0.8$. The iteration function is continuous for all real inputs, since $5+\cos3x\geqslant4>0$. Taking limits gives

Thus

Neither endpoint is a root, as shown in (a), so $0.7<L<0.8$. Therefore the limit is the root in (a).

使用区间内初值，计算保留完整精度，输出五位小数。

Starting with $x_0=0.75$, apply the iteration in radians:

The values are

Hence $\boxed{x=0.740}$ to 3 decimal places.