图中显示了曲线 $y=x\mathrm{e}^{-ax}$ 及其极大值点 $M$，其中 $a$ 为正常数。

(a) 求 $M$ 的精确坐标。

(b) 求 $\displaystyle\int_0^{\frac2a}x\mathrm{e}^{-ax}\,\mathrm{d}x$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

乘积求导后提出指数因子，求驻点并代回。指数为正，可用导数变号确认最大值。

Differentiating,

Since $e^{-ax}>0$, the stationary point requires $1-ax=0$, giving $x=1/a$.

Then

The derivative changes from positive to negative at $x=1/a$ because $a>0$. Thus

分部积分时，积分指数会带来 $-1/a$。代入上限 $2/a$ 后指数变成 $e^{-2}$。

Let $I=\int_0^{2/a}xe^{-ax}\,\mathrm{d}x$. For integration by parts, take $u=x$ and $\mathrm{d}v=e^{-ax}\,\mathrm{d}x$, so $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ and $v=-e^{-ax}/a$. Then