题目
Problem
(a) Show that cos 4 θ − sin 4 θ ≡ cos 2 θ \cos^4\theta-\sin^4\theta\equiv\cos2\theta cos 4 θ − sin 4 θ ≡ cos 2 θ
(3)
(b) Hence find the exact value of
∫ − 1 8 π 1 8 π ( cos 4 θ − sin 4 θ + 4 sin 2 θ cos 2 θ ) d θ . \int_{-\frac18\pi}^{\frac18\pi}\big(\cos^4\theta-\sin^4\theta+4\sin^2\theta\cos^2\theta\big)\,\mathrm{d}\theta. ∫ − 8 1 π 8 1 π ( cos 4 θ − sin 4 θ + 4 sin 2 θ cos 2 θ ) d θ . (6)
题目中文翻译
(a) 证明 cos 4 θ − sin 4 θ ≡ cos 2 θ \cos^4\theta-\sin^4\theta\equiv\cos2\theta cos 4 θ − sin 4 θ ≡ cos 2 θ
(3)
(b) 由此求
∫ − 1 8 π 1 8 π ( cos 4 θ − sin 4 θ + 4 sin 2 θ cos 2 θ ) d θ \int_{-\frac18\pi}^{\frac18\pi}\big(\cos^4\theta-\sin^4\theta+4\sin^2\theta\cos^2\theta\big)\,\mathrm{d}\theta ∫ − 8 1 π 8 1 π ( cos 4 θ − sin 4 θ + 4 sin 2 θ cos 2 θ ) d θ 的精确值。
(6)
原卷通用作答要求
Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.
You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.
Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.
请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。
解答
(a)
解法一
思路
展开
利用平方差及平方关系，两步化成二倍角余弦。
答题过程
展开
Using the difference of squares,
cos 4 θ − sin 4 θ ≡ ( cos 2 θ − sin 2 θ ) ( cos 2 θ + sin 2 θ ) ≡ ( cos 2 θ − sin 2 θ ) ⋅ 1 ≡ cos 2 θ . \begin{align*}
\cos^4\theta-\sin^4\theta
\equiv&\,(\cos^2\theta-\sin^2\theta)
(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\
\equiv&\,(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\cdot1\\
\equiv&\,\boxed{\cos2\theta}.
\end{align*} cos 4 θ − sin 4 θ ≡ ≡ ≡ ( cos 2 θ − sin 2 θ ) ( cos 2 θ + sin 2 θ ) ( cos 2 θ − sin 2 θ ) ⋅ 1 cos 2 θ .
(b)
解法一
思路
展开
沿用(a)并把剩余乘积化为二倍角正弦平方，再降幂积分。
答题过程
展开
Using (a) and 4 sin 2 θ cos 2 θ = sin 2 2 θ 4\sin^2\theta\cos^2\theta=\sin^22\theta 4 sin 2 θ cos 2 θ = sin 2 2 θ
I = ∫ − π / 8 π / 8 ( cos 2 θ + 1 2 − 1 2 cos 4 θ ) d θ . I=\int_{-\pi/8}^{\pi/8}
\bigg(\cos2\theta+\frac12-\frac12\cos4\theta\bigg)\,\mathrm{d}\theta. I = ∫ − π /8 π /8 ( cos 2 θ + 2 1 − 2 1 cos 4 θ ) d θ . Hence
I = [ 1 2 sin 2 θ + θ 2 − 1 8 sin 4 θ ] − π / 8 π / 8 . I=\bigg[\frac12\sin2\theta+\frac\theta2-\frac18\sin4\theta\bigg]_{-\pi/8}^{\pi/8}. I = [ 2 1 sin 2 θ + 2 θ − 8 1 sin 4 θ ] − π /8 π /8 . The bracket is an odd function, so evaluating both limits gives
I = 2 ( 1 2 2 2 + π 16 − 1 8 ) = 2 2 + π 8 − 1 4 . \begin{align*}
I=&\,2\bigg(\frac12\frac{\sqrt2}{2}
+\frac\pi{16}-\frac18\bigg)\\
=&\,\boxed{\frac{\sqrt2}{2}+\frac\pi8-\frac14}.
\end{align*} I = = 2 ( 2 1 2 2 + 16 π − 8 1 ) 2 2 + 8 π − 4 1 . 